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五年级奥数专题十二:最大公约数与最小公倍数(1)

时间:2010-09-01 11:25来源:未知 作者:admin 点击:
 如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数

 如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。

  

    如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1,a2,…,an的最大公约数通常用符号(a1,a2,…,an)表示,例如,(8,12)=4,(6,9,15)=3。

  如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1,a2,…,an的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,an]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90。

  常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

    例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱?

    分析与解:因为144克一级茶叶、 180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同, 即分装的袋数应是144,180,240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,180,240的最大公约数。

  

  所以(144,180,240)=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5(元)。

  为节约篇幅,除必要时外,在求最大公约数和最小公倍数时,将不再写出短除式。

    例2 用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少?

    分析与解:因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

  498-450=48,450-414=36,498-414=84。

  所求数是(48,36,84)=12。

    例3 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?

    分析与解:只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是 1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111 的约数。因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于 1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。

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